模运算

取模运算（模运算）除了加法性质外，还有其他一些重要的性质。以下是常见的取模运算性质：

1. 加法性质

(a + b)% m = (a % m + b% m) % m

• 加法的结果取模，等于分别取模后再相加，最后再取模。

2. 减法性质

(a – b) % m = (a % m – b % m + m) % m

(a-b)%m=0, a%m=b%m

• 减法的结果取模，等于分别取模后再相减，最后加上 ( m ) 再取模（避免负数）。

3. 乘法性质

\((a \cdot b) \% m = (a \% m \cdot b \% m) \% m\)

• 乘法的结果取模，等于分别取模后再相乘，最后再取模。

4. 幂运算性质

\(a^b \% m = (a \% m)^b \% m\)

• 幂运算的结果取模，等于底数先取模后再进行幂运算，最后再取模。

5. 分配律

• 模运算对加法和乘法满足分配律：
  \((a + b) \% m = (a \% m + b \% m) \% m\)
  \((a \cdot b) \% m = (a \% m \cdot b \% m) \% m\)

6. 结合律

• 模运算对加法和乘法满足结合律：
  \((a + b + c) \% m = ((a \% m + b \% m) \% m + c \% m) \% m\)
  (a⋅b⋅c)%m=((a%m⋅b%m)%m⋅c%m)%m

7. 模运算的逆元

• 如果 ( a ) 和 ( m ) 互质（即 (\gcd(a, m) = 1)），则存在一个整数 ( x )，使得：
  \(a \cdot x \equiv 1 \ (\text{mod} \ m)\)
• ( x ) 称为 ( a ) 在模 ( m ) 下的乘法逆元。

8. 模运算的周期性

• 模运算的结果具有周期性。例如：
  \(a^k \% m\)
  的结果会随着 ( k ) 的增加而周期性重复。

9. 模运算的除法性质

• 模运算的除法需要借助乘法逆元。如果 ( \gcd(b, m) = 1 )，则：
  \((a / b) \% m = (a \cdot b^{-1}) \% m\)
  其中 ( b^{-1} ) 是 ( b ) 在模 ( m ) 下的乘法逆元。

10. 模运算的绝对值性质

• 对于负数取模，结果是非负的。例如：
  \((-a) \% m = (m – a \% m) \% m\)
  

总结

取模运算的性质在数论、密码学、算法设计等领域有广泛应用。掌握这些性质可以帮助简化计算和优化算法。